Ein Soziologe, ein Physiker und ein Mathematiker (wahrscheinlich Numeriker) fahren mit dem Zug in ein fernes Land. Kurz nachdem sie die Grenze passiert haben, sehen sie ein schwarzes Schaf. Meint der Soziologe: "Wir koennen jetzt annehmen, dass alle Schafe in diesem Land schwarz ist." Der Physiker: "Nein, das ist falsch. Wir koennen lediglich behaupten, dass ein Schaf in diesem Land schwarz ist." Anscheinend hatte er aber (mal wieder) nicht gruendlich genug nachgedacht. Der Mathematiker: "Auch das ist falsch. Wir koennen lediglich sagen, dass es in diesem Land ein Schaf gibt, dass von mindestens einer Seite schwarz ist." Wie faengt ein Mathematiker in der Wueste einen Loewen ? Er baut sich einen Kaefig, setzt sich rein und definiert : "Hier ist Aussen !" Ein Ingenieur, ein Physiker und ein Mathematiker uebernachten nach- einander in einem Hotel, das die dumme Eigenschaft hat, jede Nacht zu brennen. In der ersten Nacht schlaeft der Ingenieur in dem Hotel. Das Zimmer beginnt zu brennen. Der Ingenieur wacht augenblicklich auf, nimmt den Feuerloescher und erstickt das Feuer im Keim. In der zweiten Nacht, der Physiker. Das Zimmer faengt Feuer. Der Physiker schlaeft etwas laenger, wacht dann auf und (da kein Assistent anwesend ist, der das fuer ihn erledigen koennte) loescht das Feuer mit dem ortsansaessigen Feuerloescher eigenhaendig. Die dritte Nacht. Der Mathematiker schlaeft wie ein Baby. Das Zimmer geraet in Brand. Der Mathematiker wacht auf, sieht das Feuer und den Feuerloescher. Er stellt fest: "Das Problem ist loesbar", drehr sich um und schlaeft weiter. Ein Physiker, ein Mathematiker und ein Informatiker sollen beweisen, dass alle ungeraden Zahlen groesser gleich drei Primzahlen sind. Der Informatiker beginnt: 3 ist Primzahl. => Alle anderen Zahlen sind Primzahlen. Der Mathematiker: 3 ist Primzahl. 11 und 13 sind Primzahlen. Der Rest stimmt nach Induktionsbeweis. Der Physiker 3 stimmt. 5 stimmt. 7 stimmt. 9 Messfehler. 11 stimmt. 13 stimmt. Behauptung ist richtig. Fahren drei im Zug durch Schottland und sehen ein schwarzes Schaf. Einer von den dreien ist Ingenieur, er meint: "Alle Schafe in Schottland sind schwarz." Der zweite ist Physiker. Sein Kommentar: "Es gibt in Schottland schwarze Schafe." Der dritte ist Mathemati- ker: "Es gibt in Schottland mindestens ein Schaf, das fuer min- destens drei von uns auf mindestens einer Seite schwarz erscheint." Fahren zwei Informatiker im Auto (durch Schottland, natuerlich), ploetzlich faellt der Motor aus (sonst waer's kein Witz). Der eine: "Mist, ein Bug im Betriebssystem." Der andere: "Komm, wir steigen aus, machen alle Tueren einmal auf und zu. Vielleicht geht's dann wieder." Ein Lehrer, ein Physiker und ein Mathematiker uebernachten in einer Block- Huette. Ploetzlich brennt es. Der Lehrer wacht auf, sieht das es brennt, laeuft raus und ... ueberlebt. Der Physiker wacht auf, ist von diesem Phaenomen begeistert und ... stierbt in den Flammen auf der Suvhe nach dem Thermometer. Der Mathematiker wacht auf, sieht den Feuerloescher und schlaeft weiter, den es exisitert eine Loesung... A Physicist, a chemist and a mathematician were stranded on three different tropical islands and each had a canister of food, but no opener. The physicist laid his canister on a large rock and then threw smaller rocks at the lid until it was knocked open. The chemist searched the island for certain plants from which he fabricated an acid that eventually dissolved part of the lid. The mathematician wrote the following in the sand: Theorem: There exists a means of opening the canister. Proof: Assume the opposite . . . Weeks later his skeleton was found in the sand. Ein Maschinenbauer, ein Chemiker und ein Informatiker fahren in einem Auto durch die Wueste. Ploetzlich bleibt das Auto stehen, und die drei beginnen ueber die Ausfallursache zu streiten: Der Chemiker: 'Sicher ein unvermuteter Entropiezuwachs im Motorraum !' Der Maschinenbauer: 'Bloedsinn, es ist einfach der Keilriemen gerissen oder der Zuendverteiler hat sich verabschiedet oder sowas !' .. usw ... usw ... Bis es dem Informatiker zu dumm wird: 'Ist doch egal, wir steigen einfach aus und wieder ein, dann wird's schon wieder laufen.' Ein Physikstudent, ein Mathematikstudent und ein Medizinstudent bekommen von ihren Professoren jeweils ein Telephonbuch vorgelegt. Der Physikstudent : "Ich kann aus diesen Messergebnissen nicht auf den Versuch schliessen und damit ist das Ergebniss zu ungenau und wertlos !" Der Mathematikstudent : "Diese Nummern lassen sich nicht als mathematische Reihe zusammenfassen, damit sind sie per Definition Definitionen und ohne Zusammenhang sind diese Definitionen wertlos" Der Medizinstudent schaut den Professor nur muede and und fragt : "Bis wann ?" *----------------------------------------------* * Wie faengt man einen Loewen in der Wueste ? * *----------------------------------------------* Das Einfangen von Loewen in der Wueste ist ein schoenes Beispiel anwen- dungsnaher Mathematik, in das sogar physikalische Aspekte hineinspielen. Wir geben daher zum Nutzen der Leser eine Zusammenstellung wieder, die ihm bei diesem, im taeglichen Leben so haeufig auftretenden Problem, einige Leitlinien zur Loesungsfindung vermittelt. ************************** I. MATHEMATISCHE METHODEN ************************** 1. Die Hilbertsche oder axiomatische Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Man stellt einen Kaefig in die Wueste und fuehrt folgendes Axiom-System ein: Axiom 1: Die Menge der Loewen in der Wueste ist nicht leer. Axiom 2: Sind Loewen in der Wueste, so ist auch ein Loewe im Kaefig. Schlussregel: Ist [p] ein richtiger Satz, und gilt >> wenn [p], so [q] << so ist auch [q] ein richtiger Satz. Satz: Es ist ein Loewe im Kaefig. 2. Die geometrische Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Man stelle einen zylindrischen Kaefig in die Wueste. 1. Fall: Der Loewe ist im Kaefig. Dieser Fall ist trivial! 2. Fall: Der Loewe ist ausserhalb des Kaefigs. Dann stelle man sich in den Kaefig und mache eine Inversion an den Kaefigwaenden. Auf diese Weise gelangt der Loewe in den Kaefig und man selbst nach draussen. ACHTUNG: Bei Anwendung dieser Methode ist dringen darauf zu achten, dass man nicht auf dem Mittelpunkt des Kaefigbodens steht, da man sonst im Unendlichen verschwindet! 3. Die Projektionsmethode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ohne Beschraenkung der Allgemeinheit nehmen wir an, dass die Wueste eine Ebene ist. Wir projizieren diese auf eine Gerade durch den Kaefig, und die Gerade auf einen Punkt im Kaefig. Damit gelangt der Loewe in den Kaefig. 4. Die Bolzano-Weierstrass-Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Wir halbieren die Wueste in Nord-Sued-Richtung durch einen Zaun. Dann ist der Loewe entweder in der westlichen oder oestlichen Haelfte. Wir wollen annehmen, dass er in der westlichen Haelfte ist. Daraufhin halbieren wir diesen westlichen Teil durch einen Zaun in Ost-West-Richtung. Der Loewe ist entweder im noerdlichen oder im suedlichen Teil. Wir nehmen an, er ist im noerdlichen. Auf diese Weise fahren wir fort. Der Durchmesser der Teile, die bei dieser Halbierung entsteht, strebt gegen Null. Auf diese Weise wird der Loewe schliesslich von einem Zaun beliebig kleiner Laenge eingegrenzt. 5. Die mengentheoretische Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Die Punkte der Wueste lassen sich wohlordnen. Ausgehend vom klein- sten Element erwischt man den Loewen durch transfinite Induktion. Bemerkung: Diese Methode ist in Fachkreisen umstritten, wegen der Verwendung des Wohlordnungssatzes bzw. des Auswahlaxioms. Wie so oft, hat auch die vorliegende Fragestellung zu einer fruchtbaren Entwicklung gefuehrt. Dabei wurde schliesslich eine sehr viel ein- fachere Methode entdeckt, die den genannten Mangel nicht auf- weist: Man betrachte alle Teilmengen der Wueste, die den Loewen ent- halten und bilde den Durchschnitt. Er enthaelt als einziges Element den Loewen. (Bei dieser Durchschneiderei ist lediglich darauf zu achten, dass das schoene Fell des Loewen nicht zerschnitten wird!) 6. Die funktionalytische Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Die Wueste ist ein seperater Raum. Er enthaelt eine anzaehlbar dichte Menge, aus der eine Folge ausgewaehlt werden kann, die gegen den Loewen konvergiert. Mit einem Kaefig auf dem Ruecken springen wir von Punkt zu Punkt dieser Folge und naehern uns so dem Loewen beliebig genau. 7. Die Peano-Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~ Man konstruiert eine Peano-Kurve durch die Wueste, also eine ste- tige Kurve, die durch jeden Punkt der Wueste geht. Es ist gezeigt worden, dass man eine solche Kurve in beliebig kurzer Zeit durch- laufen kann. Mit dem Kaefig unter'm Arm durchlaufe man die Kurve in kuerzerer Zeit, als der Loewe benoetigt, um sich um seine eigene Laenge fortzubewegen. 8. Die topologische Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Der Loewe kann topologisch als Torus aufgefasst werden. Man trans- portiere die Wueste in den vierdimensionalen Raum. Es ist nun moeg- lich, die Wueste so zu deformieren, dass beim Ruecktransport in den dreidimensionalen Raum der Loewe verknotet ist. Dann ist er hilf- los. 9. Die Cauchysche oder funktionentheoretische Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Wir betrachten eine regulare loewenwertige Funktion [f] durch die Wueste. Der Kaefig steht im Punkt [z] der Wueste. Man bilde dann das Integral 1 +- f(zeta) ------ | -------- 2*pi*i -+ zeta - z C wobei [C] der Rand der Wueste ist. Der Wert des Integrals ist f(z), d.h. es ist ein Loewe im Kaefig. 10. Die Banachsche oder iterative Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Es sei [f] eine Kontraktion der Wueste in sich. [x0] sei ihr Fixpunkt. Auf diesen Fixpunkt stellen wir den Kaefig. Durch sukzessive Iter- ation W = f(W), n = 0; 1; 2; .... (W = Wueste) n+1 n 0 wird die Wueste auf einen Fixpunkt zusammengezogen. So gelangt der Loewe in den Kaefig. 11. Die stochastische Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Man benoetigt dazu ein Laplace-Rad, einige Wuerfel und eine Gaussche Glocke. Mit dem Laplace-Rad faehrt man in die Wueste und wirft mit den Wuerfeln nach dem Loewen. Kommt er dann wutschnaubend angerannt, so stuelpt man die Gaussche Glocke ueber ihn. Unter ihr ist er dann mit der Wahrscheinlichkeit eins gefangen. 12. Die didaktische Mehode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Man naehere sich dem Loewen auf einer Brunerschen Spirale. Dann ele- mentarisiere man den Loewen zu einer Katze und fange ihn mit einer Schale Milch. ************************** II. PHYSIKALISCHE METHODEN ************************** 13. Die Newtonsche Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Kaefig und Loewe ziehen sich durch die Gravitionskraft an. Wir ver- nachlaessigen die Reibung. Auf diese Weise muss der Loewe frueher oder spaeter im Kaefig landen. 14. Die Heisenberg-Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Ort und Geschwindigkeit eines bewegten Loewen lassen sich nicht gleichzeitig bestimmen. Da bewegte Loewen also keinen physikalisch sinnvollen Ort in der Wueste einnehmen, kommen sie fuer die Jagd auch nicht in Frage. Die Loewenjagd kann sich daher nur auf ruhende Loewen beschraenken. Das Einfangen eines ruhenden, bewegungslosen Loewen wird dem Leser dieses Artikels als Uebungsaufgabe ueberlassen. 15. Die Schroedinger-Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Die wahrscheinlichkeit dafuer, dass sich ein Loewe zu einem belie- setzte sich vor den Kaefig und warte. 16. Die Einsteinsche oder relativistische Methode ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Man ueberfliege die Wueste nahezu mit Lichtgeschwindigkeit. Durch die ralativistische Laengenkontraktion wird der Loewe flach wie Papier. Man greife ihn, rolle ihn auf und mache ein Gummiband herum. Bemerkung: Wir haben uns hier auf physikalische Methoden beschraenkt, die der Mathematik nahe stehen. Weitere Methoden, insbesondere experimen- talphysikalische, findet der Leser in der wertvollen Abhandlung von H. Petard [*] aus dem Jahre 1938 (wie z.B. das Arbeiten mit halbdurchlaessigen Membranen, die alles ausser Lowen durchlassen. mit ihnen siebt man die Wueste durch). Die Sammlung von Petard hat auch bei einigen der angegebenen mathematischen Methoden Pate gestanden. [*] Petard, H.: A Contribution to the Mathematical Theory of Big Bame Hunting. American Meth. Monthly 45, 446-557, 1938.